Beweis dafür, dass keine harmonische Nummer eine Ganzzahl ist

Samstag, 13. Juli 2024

Zahlentheorie
Hilfssatz

Ein Beweis

Der Satz

Zuerst geben wir die folgende Definition einer harmonische Nummer ( $H_n$ ):

H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsc + \frac{1}{n}

Das Problem ist jetzt, wie kann man zeigen, dass $\forall n \ge 2$ , $H_n \not \in \mathbb{Z}$

Ein Beweis

Wir führen diesen Beweis mit Widerspruchsbeweis durch. Angenommen, dass $H_n = m \in \mathbb{Z}$ .

$k$ sei die größte Potenz von $2$ im Bereich $[1, n]$ , und sei $P$ das Produkt aller ungeraden Zahlen im gleichen Bereich. Hieraus ergibt sich, dass $P$ ungerade ist.

$D = 2^k \times P$ .

Bei Multiplikation mit $D$ auf die beiden Seiten, erhalten wir

\begin{align*} 2^kP + \frac{2^kP}{2} + \frac{2^kP}{3} + \dotsc + \frac{2^kP}{2^k} + \dotsc + \frac{2^kP}{n} = m \times 2^kP \end{align*}

Für alle $n \ge 2$ , ist $k \ge 1$ . Also, auf dem richtigen Seite ist $m\times 2^kP$ gerade.

Aber hier bekommen wir den Widerspruch!

Auf dem linken Seite kann man die Nenner aller Bruchrechnungen kürzen. Danach behalten wir einen Ausdruck da, in dem alle Terme außer $\frac{2^kP}{2^k}$ gerade sind. Dann ist die linke Seite ungerade.

Es ist nie möglich, dass die zwei Seiten verschiedene Geradzahligkeiten haben!