Startseite Blog Der Autor Inhaltsverzeichnis Problemstellung Meine Lösung Fall 1: $n \in \mathbb{P}$ Fall 2: $n \notin \mathbb{P}$
Problemstellung Berechne D = gcd ( n ! + 1 , ( n + 1 ) ! ) D = \gcd(n! + 1, (n + 1)!) D = g cd( n ! + 1 , ( n + 1 )!)
Meine Lösung Sei P \mathbb{P} P
Unmittelbar erinnert der Ausdruck ( n + 1 ) ! (n + 1)! ( n + 1 )!
( n − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d n ) ⟺ n ∈ P (n - 1)! \equiv -1 \pmod{n} \Longleftrightarrow n \in \mathbb{P}
( n − 1 )! ≡ − 1 ( mod n ) ⟺ n ∈ P Trenne jetzt das Problem in zwei Fälle.
Fall 1: n ∈ P n \in \mathbb{P} n ∈ P In diesem Fall kann man sagen, dass
n ! ≡ − 1 ( m o d n + 1 ) ⟺ n ! + 1 ≡ 0 ( m o d n + 1 ) ⟺ n + 1 ∣ n ! + 1 \begin{align*}
&n! \equiv -1 \pmod{n + 1} \\
\Longleftrightarrow \space &n! + 1 \equiv 0 \pmod{n + 1} \\
\Longleftrightarrow \space &n + 1 \mid n! + 1
\end{align*}
⟺ ⟺ n ! ≡ − 1 ( mod n + 1 ) n ! + 1 ≡ 0 ( mod n + 1 ) n + 1 ∣ n ! + 1 Beachte, dass keine von der Menge S = { 1 , 2 , … , n } S = \{1, 2, \ldots, n\} S = { 1 , 2 , … , n } n ! + 1 n! + 1 n ! + 1 S S S ( n + 1 ) ! (n + 1)! ( n + 1 )! ( 1 ) (1) ( 1 ) D = n + 1 D = n + 1 D = n + 1
Fall 2: n ∉ P n \notin \mathbb{P} n ∈ / P Aus der Beobachtung ( 1 ) (1) ( 1 ) D = 1 D = 1 D = 1
