Eine Nette Übung zum Satz von Euler

Freitag, 7. Juni 2024

Beweise, dass für jede ungerade Nummer $n$

n \mid 2^{n!} - 1

Der Satz von Euler besagt, dass für jede $n\ge 2$ und $\gcd(n, a) = 1$

a^{\phi(n)} - 1 \equiv 0 \pmod{n}

Sei $a = 2$ , dann ist $\gcd(2, n) = 1$ für jede ungerade Nummer $n$ . Also

2^{\phi(n)} - 1 \equiv 0 \pmod{n}

Also, das Problem ist tatsächlich

Beweise, dass $\phi(n) \mid n!$ für jede ungerade Nummer $n$ .

Die Lösung ist eigentlich sehr einfach. Da $\phi(n) < n$ , dann $\phi(n) \in \{1, 2, \ldots, n - 1\}$ .

Deswegen $\phi(n) \mid n(n - 1)(n - 2)\ldots = n!$