BMO1 2023 Frage Nr. 4

Samstag, 1. Juni 2024

BMO1
Zahlentheorie

Mein Lösungsansatz für BMO1 2023 Frage Nr. 4

Die Problemstellung

Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen $n$ für die gilt, dass $n2^n+1$ eine Quadratzahl ist.

Meine Lösung

Beachte, dass $n2^n+1$ eine ungerade Nummer ist, also kann man sagen

\begin{align*} n2^n+1 &= (2k+1)^2 \\ n2^n &= 4k^2+4k \\ \end{align*}

Dann

\begin{align} n2^{n-2} &= k(k+1) \end{align}

Die Nummern $k$ und $k + 1$ sind fortlaufende ganze Zahlen, das beudeutet, dass sie auch teilerfremd sind. Folglich ist nur eine von ihnen gerade.

Wenn $n$ ungerade ist, dann ist die Potenz von zwei $n - 2$ auf der linken Seite. Im Vergleich dazu, wenn $n$ gerade ist, beiträgt $n$ noch eine weitere Potenz von zwei, also ist die Potenz darauf $n - 1$ .

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen wir, dass $k$ gerade ist. Da $k + 1$ ungerade ist, muss die Potenz von zwei von $k + 1$ entweder $n - 2$ oder $n - 1$ sein. Dann haben wir

\begin{align*} k &\ge 2^{n - 2} \\ k(k+1) &> k^2 \ge (2^{n - 2})^2 \\ \end{align*}

Jetzt vergleichen wir $(2^{n - 2})^2$ mit $n2^{n-2}$ . Zuerst dividieren wir die beiden Seiten von $2^{n-2}$ , dann ist der folgende Ausdruck wahr für alle $n \ge 5$

\begin{align*} 2^{n - 2} > n \\ \end{align*}

Mit dem Induktionbeweis, kommen wir zum Schluss, dass $n2^n+1$ keine Quadratzahl ist, wenn $n \ge 5$ .

Endlich prüfen wir die Fälle $n = 1, 2, 3, 4$ und finden die Lösungen $n \in \{2, 3\}$ .

Schlussfolgerung

Meine größten Fehler am Anfang war die Annahme, dass einer der $k$ und $k+1$ muss gleich $2^{n - 2}$ sein. Zum Beispiel, falls $k$ gerade ist, ist n zwar durch $k+1$ teilbar, doch es ist nicht unbedingt, dass sie gleich sind.

Ich konnte diese Frage im Wettbewerb im November 2023 leider nicht lösen, aber was ich durch den ganzen Vorgang bemerkte, war, dass ich in dieser Zeit viel gelernt habe.

Im Großen und Ganzen machte es mir viel Spaß! Ich freue mich auf die nächste Herausforderung.