IMO Shortlist 2022 G2

Mittwoch, 19. Juni 2024

• Geometrie
• IMO

Im spitzwinkligen Dreieck ABC ist der Punkt F der Fußpunkt der Höhe von A, und P ist ein Punkt auf der Strecke AF. Die Geraden durch P, die parallel zu AC und AB verlaufen, treffen BC in D bzw. E. Die Punkte X $\not =$ A und Y $\not =$ A liegen auf den Kreisen ABD bzw. ACE, so dass DA = DX und EA = EY ist.

Beweise, dass B, C, X und Y konzyklisch sind.

Zuerst konstrueiren wir den Punkt $A' = XB \cup CY$ wie folgt.

IMO Shortlist 2022 G2

Beobachte, dass es möglich ist, der Punkt $A'$ die Spiegelung von $A$ an $BC$ ist. Tatsächlich zaubern wir das herbei, und gucken wir daran, inwiefern das benutzt ist.

Unter dieser Annahme ist der Punkt $A'$ kollinear mit A und F. Falls wir beweisen können, dass die Linie durch $A$, $F$, $A'$ tatsächlich die Radikalachse der Kreise $ABD$ und $ACE$ ist, dann sind wir fertig.

Lemma 1.

Der Punkt $A'$ ist die Spiegelung von $A$ an $BC$.

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Proof

Sei $\measuredangle ABX = \alpha$. Durch Winkelverfolgung im Sehnenviereck $AXBD$ bemerken ist $\measuredangle ADX = \measuredangle ABX = \alpha$.

Dann

$$DA = DX \Longleftrightarrow \measuredangle DXA = \measuredangle XAD = 90^\circ - \frac{1}{2}\alpha$$

Nochmal mit der Kenntnis, dass $AXBD$ ein Sehnenviereck ist, folgt

$$\measuredangle DXA = \measuredangle DBA = 90^\circ - \frac{1}{2}\alpha$$

Hieraus ergibt sich, dass

$$\measuredangle A'BC = 180^\circ - (90^\circ - \frac{1}{2}\alpha) - \alpha = 90^\circ - \frac{1}{2}\alpha = \measuredangle DBA$$

Winkelverfolgung

Folglich ist BC die Winkelhalbierende von $\measuredangle A'BA$, analog auch von $\measuredangle ACA'$. Also ist $A'$ die Spiegelung von $A$ an $BC$.

$\square$

Fahren wir fort, um zu beweisen, dass $AF$ die Radikalachse der Kreise $ABD$ und $ACE$ ist. Eigentlich können wir das Problem wie folgt reduzieren

Beweise, dass $\text{Pow}_{(ABD)}(F) = \text{Pow}_{(ACE)}(F)$, da der Punkt $A$ schon ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist, also liegt er auf die Radikalachse.

Das ist aber einfach, weil $\triangle ABC \sim \triangle PED$, dann

Wir sind fertig!