IMO 2009 - Frage Nr. 2

Montag, 3. Juni 2024

Geometrie
IMO

Mein Lösungsansatz dafür

Problemstellung

Die Problemstellung ist auf Englisch, hier ist die Übersetzung ins Deutsche:

Sei $ABC$ ein Dreieck mit Umfang $O$ . Die Punkte $P$ und $Q$ seien Innenpunkte der Seiten $CA$ bzw. $AB$ . Seien $K,L$ und $M$ die Mittelpunkte der Strecken $BP,CQ$ bzw. $PQ$ , und sei $\Gamma$ der Kreis, der durch $K,L$ und $M$ geht. Nehmen wir an, dass die Gerade $PQ$ den Kreis $\Gamma$ tangiert. Beweisen Sie, dass $OP=OQ$ .

Meine Lösung

Das Diagramm auf GeoGebra:

IMO 2009 - Frage Nr. 2

Sei $\angle QMK = \alpha$ und $\angle PML = \beta$ . Wir wissen, dass QP eine Tangente an $\Gamma$ ist, also $\alpha = \angle QMK = \angle MLK$ auch $\beta = \angle PML = \angle MKL$ .

Da $\triangle MPK$ und $\triangle QPB$ den gleichen Winkel $\angle MPK$ teilen, und $PM = \frac{1}{2}PQ$ auch $PK = \frac{1}{2}PB$ , folglich sind sie ähnlich. Dann sind $MK$ und $QB$ parallel. Gleicherweise sind $ML$ und $PC$ auch parallel.

Dann

\begin{align*} &QB \parallel MK \\ \implies &\angle BQM = 180^\circ - \alpha \\ \implies &\angle AQP = 180^\circ - \angle BQM = \alpha \end{align*}

Gleicherweise

\angle APQ = \angle PML = \beta

Hieraus ergibt sich dass, $\triangle APQ$ und $\triangle KML$ ähnlich sind, mit den folgenden Verhältnissen:

\frac{AP}{MK} = \frac{PQ}{KL} = \frac{AQ}{ML}

Daraus geht hervor, dass

\begin{align} \frac{MK}{ML} = \frac{AP}{AQ} \end{align}

Außerdem

\begin{align} \frac{QB}{MK} = 2 = \frac{PC}{ML} \end{align}

Verbinde die Gleichungen $(1)$ und $(2)$ :

\begin{align*} AP \cdot PC = AQ \cdot QB \end{align*}

Daraus hat man geprüft, dass die Punkte $P$ und $Q$ die gleiche Potenz haben, also $OP = OQ$ .

Schlussfolgerung

Der entscheidende Schritt in dieser Lösung ist, die Potenz eines Punktes zu benutzen.