EGMO 2012, Frage Nr. 7

Mittwoch, 5. Juni 2024

• Geometrie
• EGMO

Ein Lösungsansatz dafür

Sei $\triangle ABC$ ein spitzwinkeliges Dreieck mit Umkreis $\Gamma$ und Höhenschnittpunkt $H$. Sei $K$ ein Punkt auf dem Kries $\Gamma$ und auf der anderen Seite von $BC$ als $A$. Sei $L$ die Spiegelung von $K$ an $AB$, und sei $M$ die Spiegelung von $K$ an $BC$. Sei $E$ der zweite Schnittpunkt von $\Gamma$ mit dem Umkreis des Dreiecks $BLM$. Zeige, dass die Geraden $KH$, $EM$ und $BC$ konkurrieren.

Spiegle $H$ an $BC$, um den Punkt $H_A$ zu erhalten. Da $K$ die Spiegelung von $M$ und $H_A$ die Spiegelung von $H$ ist, folgt es daraus, der Punkt $P$, der Schnittpunkt von $KH$ und $EM$, ist das Streckzentrum, das das Dreieck $\triangle HPH_A$ auf dem Dreieck $\triangle MPK$ abbildet. Folglich liegt $P$ auf der Spiegelungslinie $BC$.

Bisher haben wir das Problem auf eine neue und einfachere Weise zurückgeführt: Beweise, dass $E$, $M$, $H_A$ kollinear sind.

Jetzt, mit der Hilfe von Phantompunkten, konstruiere den Punkt $E'$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. $E'$ ist mit $M$ und $H_A$ kollinear.
2. $E'$ liegt auf $\Gamma$.

Die Aufgabe ist zu beweisen, dass $E = E'$, äquivalenterweise, dass $E$ auf dem Umkreis des Dreiecks $BLM$ liegt.

Zuerst konstruiere die Punkte $H_B$ und $H_C$, dann die zwei Sehnenvierecke $E'H_CBH_A$ und $ACBE'$. Die Aufgabe ist zu beweisen, dass $LE'MB$ ein Sehnenviereck ist (das beudeutet, dass der Punkt $E$ dann auf $(BLM)$ liegt)..

Ein guter Anfangspunkt ist, dass $\angle LBM + \angle LE'M = 180^\circ$ zu beweisen (in diesem Fall ist $LEMB$ ein Sehnenviereck).

Der Winkel $\angle LBM$ ist gleich $\angle LBH_A - \angle MBH_A$, auch $\angle LBK = 2\angle ABK$, weil $L$ ist die Spiegelung von $K$ an $AB$. Gleicherweise $\angle CBK = \angle MBC$, weil $K$ die Spiegelung des Punktes $M$ an $BC$ ist. Dann

Beachte, dass $\angle H_CBH_A + \angle H_AE'H_C = 180^\circ$ in dem Sehnenviereck $E'H_CBH_A$ (diesen Sehnenviereck benutzen wir, weil $E'$ auf $\Gamma$ liegt).

Da $L$ und $H_C$ die Spiegelungen von $K$ bzw. $H$ an $AB$ sind, haben wir $\angle BH_CL = \angle BHK$ (sehe das Folgenden Diagramm)

Noch einmal, der Spiegelungspunkt $M$ von $K$ und $H_A$ von $H$ an $BC$ impliziert, dass $\angle BHK = \angle MH_AB$

Dann in dem Sehnenviereck $H_CBH_AE'$, $\angle MH_AB = 180^\circ - \angle E'H_CB$. Also $\angle BH_CL = 180^\circ - \angle E'H_CB$. Deswegen sind $L$, $H_C$, $E'$ kollinear.

Warum ist der Winkel H_CBH_A gleich 2*ABC?

Da $L$, $H_C$, $E'$ kollinear sind, haben wir $\angle LE'M = \angle H_CE'M = 180^\circ - H_CBH_A = 180^\circ - 2\angle ABC$. Endlich $\angle LE'M + \angle LBM = 180^\circ - 2\angle ABC + 2\angle ABC = 180^\circ$.