Die Spiegelung des Höhenschnittpunktes

Mittwoch, 5. Juni 2024

• Geometrie
• Hilfssatz

Eine interessante Hilfssatz in der Geometrie

Mir wurde gesagt, wenn die Höhenschnittpunkt eines Dreiecks an einer Kante des Dreiecks gespiegelt, dann ist der Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks. Das benutze ich oft, aber ich fragte mich immer, warum das so ist. In diesem Artikel werde ich diesen Hilfssatz beweisen.

Sei $\triangle ABC$ ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt $H$. Sei $H_A$ die Spiegelung von $H$ an $BC$. Dann liegt $H_A$ auf dem Umkreis des Dreiecks $\triangle ABC$.

Spiegle $H$ an $BC$, um den Punkt $H_A$ zu erhalten. Eine unmittelbare Folge daraus ist, dass $\angle CBH = \angle CBH_A$. Um den Satz zu beweisen, muss man zeigen, dass $\angle CBH_A = \angle CAH_A$, oder äquivalenterweise $\angle CBH = \angle CAH_A$.

Zeichne die Fußpunkt $D$ von $H$ auf $AC$, dann ist es deutlich, dass $\angle BHH_A = \angle AHD$, also $\angle CBH = \angle CAH_A$.

Für mich ist es immer faszinierend, grundlegende Sätze und Axiome umzudenken und zu beweisen... das ist genau der Grund, warum ich diesen Artikel geschrieben habe.