RSME Das Problem des Monates - Juni 2024

Sonntag, 2. Juni 2024

Geometrie

Mein Lösungsansatz dafür

Problemstellung

Die Problemstellung ist auf Spanisch, daher habe ich sie übersetzt:

Es seien zwei Kreise mit den Mittelpunkten $O$ und $O'$ und den Radien $r$ und $r'$ , die sich in einem Punkt $A$ tangieren. Von einem beliebigen Punkt $B$ auf der gemeinsamen Tangente aus zeichnen wir die beiden anderen Tangenten an jeden der beiden gegebenen Kreise, wobei die jeweiligen Berührungspunkte $C$ und $C'$ sind. Wohin tendiert das Verhältnis der Flächeninhalte der Dreiecke $ABC$ und $ABC'$ , wenn sich der Punkt $B$ entweder dem Punkt $A$ nähert oder sich unendlich weit vom Punkt $A$ entfernt?

Meine Lösung

Zuerst kann man das Diagramm mit GeoGebra zeichnen, dann bekommt man etwas wie das folgende Bild:

Problem des Monates - Juni 2024

Beachte, dass die die Längen $AB$ und $CB$ sind ebenso lang, weil sie Tangenten vom Kreis mit dem Mittelpunkt $O$ , die von dem gleichen Punkt $B$ gezogen sind. Das Gleiche gilt für die Längen $AB$ und $C'B$ . Daraus folgt, dass $AB = CB = C'B$ . Bezeichne diese Länge mit $x$ und die Winkel $\angle ABC$ und $\angle ABC'$ mit $\alpha$ und $\beta$ jeweils. Dann kann man die Flächen der zwei Dreiecke $ABC$ und $ABC'$ wie folgt berechnen:

\begin{align*} [ABC] & = \frac{1}{2} x^2 \sin\alpha \\ [ABC'] & = \frac{1}{2} x^2 \sin\beta \\ \frac{[ABC]}{[ABC']} &= \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} \end{align*}

Im Dreieck $\triangle ABO$ , $OA = r$ , $AB = x$ , also $OB = \sqrt{r^2 + x^2}$ . Daraus folgt, dass $\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{r}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ und $\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{x}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ , dann $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2\frac{r}{\sqrt{r^2 + x^2}}\frac{x}{\sqrt{r^2 + x^2}} = \frac{2rx}{r^2 + x^2}$ . Auf ähnliche Weise $\sin\beta = \frac{2r'x}{r'^2 + x^2}$ . Also

\begin{align*} k &= \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} \\ &= \frac{\frac{2rx}{r^2 + x^2}}{\frac{2r'x}{r'^2 + x^2}} \\ &= \frac{\frac{r}{r^2 + x^2}}{\frac{r'}{r'^2 + x^2}} \\ \end{align*}

Dann berechne dem Limes von $k$ wenn $x \to 0$ und $x \to \infty$ :

\begin{align*} \lim_{r\to 0} k & = \frac{r'}{r} \\ \lim_{r\to \infty} k & = \frac{r}{r'} \\ \end{align*}