BMO2 2024 P3 - Meine Lösung

Sonntag, 22. September 2024

Geometrie

Mein Lösungsansatz dafür

Problemstellung

Die Problemstellung war ursprünglich auf Englisch, daher habe ich sie übersetzt:

ABC sei ein spitzwinkliges Dreieck mit $AB > AC$ . P sei der Schnittpunkt der Tangenten an den Umkreis von ABC in B und C. Die Linie durch die Mittelpunkte der Strecken PB und PC treffe die Linien AB und AC in X bzw. Y.

Beweisen Sie, dass das Viereck AXPY zyklisch ist.

Meine Lösung

Zuerst kann man das Diagramm mit GeoGebra zeichnen, durch Winkelverfolgung dann bekommt man etwas wie das folgende Bild:

Man muss jetzt beweisen, dass $\angle XPY = 180^\circ - \angle XAY$ . Markieren wir zwei weitere Winkel: $\angle DPX = \alpha$ und $\angle EPY = \beta$ . Auch sei der orangefarbige Winkel $\angle BAC = \gamma$

Um $\angle XPY = 180^\circ - \angle XAY$ zu beweisen, reicht es aus, zu zeigen, dass

\begin{align*} \alpha + \beta + (180^\circ - 2\gamma) &= 180^\circ - \gamma \\ \Longleftrightarrow \alpha + \beta &= \gamma \end{align*}

Jetzt beobachten wir, dass es ein paar ähnliche Dreiecke gibt. Offensichtlich sind $\triangle BDX$ und $\triangle CEY$ ähnlich.

\begin{align} \frac{BD}{DX} = \frac{EY}{CE} \end{align}

Bevor wir weitermachen, werfen wir einen Blick in die Zukunft und uns fragen, was wir eigentlich beweisen wollen. Wir wollen beweisen, dass $\alpha + \beta = \gamma$ ist. Im Dreieck $\triangle XDP$ , falls $\angle PXD = \beta$ , dann wäre

\angle XDP = 180^\circ - \alpha - \beta

aber auch

\angle XDP = 180^\circ - \gamma

also, auf Wunsch

\alpha + \beta = \gamma

Also ist die Aufgabe jetzt, zu beweisen, dass $\triangle XDP \sim \triangle YEP$ .

Um das zu zeigen, erfordern wir, dass

\frac{DP}{DX} = \frac{EY}{EP}

Aber wir wissen schon, dass $BD = DP$ und $CE = EP$ . Also können wir diese Gleichung als das Folgendes umschreiben

\frac{BD}{DX} = \frac{EY}{CE}

Das ist genau die Gleichung $(1)$ ! Das Beweis ist fertig.