IMO Shortlist 2022 A1

Sonntag, 16. Juni 2024

Geometrie
IMO

Meine Lösung dafür

Problemstellung

$(a_{n+1})$ mit $n\ge 1$ sei eine Reihe positiver reeler Zahlen, so dass

a_{n+1}^2 + a_na_{n + 2} \le a_n + a_{n + 2}

für alle $n\in \mathbb{Z}^+$ . Beweise, dass $a_2022 \le 1$ .

Meine Lösung

Proof 1.

Sei $x = a_{2021}$ , $y = a_{2022}$ , $z = a_{2023}$ . Dann gilt die Ungleichung

\begin{equation} y^2 + xz \le x + z \end{equation}

Hieraus ergibt sich, dass

\begin{align*} y^2 & \le x + z - xz \\ y^2 & \le -[(x-1)(z-1) - 1] \\ y^2 &\le 1 - (x-1)(z-1) \\ \end{align*}

Dann

\begin{align*} y\in \mathbb{Z}^+ \Longleftrightarrow y^2 \ge 1 \\ 1 - (x-1)(z-1) \ge 1 \\ (x-1)(z-1) \le 0 \end{align*}

Diese Ungleichung gilt nur, wenn $x = 1$ oder $z = 1$ , da $x, z \ge 1$ und die linke Seite nie negative ist. Angenommen, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, dass $x = 1$ . Aus der Ungleichung $\text{(1)}$

\begin{align*} y^2 + z &\le 1 + z \\ y^2 &\le 1 \\ y = a_{2022} &\le 1 \end{align*}